Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，若x∈（0，1]時(shí)，f（x）=log₂x，則x∈[5，9]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 運(yùn)用奇函數(shù)的定義和對(duì)稱性的定義，可得-f（x）=f（x+2），將x換為x+2，可得f（x）的周期為4，求出[-1，0），（-2，-1]，[1，2）的函數(shù)解析式，再由周期性和圖象平移，即可得到所求解析式．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴f（-x）=f（2+x），f（-x）=-f（x），
即-f（x）=f（x+2），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期是4．
由f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由x∈（0，1]時(shí)，f（x）=log₂x，
可得x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=-log₂（-x），
x∈[1，2）時(shí)，f（x）=log₂（2-x），
x∈（-2，-1]時(shí)，f（x）=-log₂（x+2），
則有x∈[5，6）時(shí)，可將x∈[1，2）時(shí)的圖象向右平移4個(gè)單位可得，
則有f（x）=log₂（6-x），
同理可得，x∈（6，7]時(shí)，f（x）=-log₂（x-6），
x∈[7，8）時(shí)，f（x）=-log₂（8-x），
x∈（8，9]時(shí)，f（x）=log₂（x-8）．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（6-x），5≤x＜6}\\{-lo{g}_{2}（x-6），6＜x≤7}\\{-lo{g}_{2}（8-x），7≤x＜8}\\{lo{g}_{2}（x-8），8＜x≤9}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的運(yùn)用，以及圖象的平移，屬于中檔題．