Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）試確定函數(shù)的奇偶性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，無(wú)奇偶性；（2）；（3）

【解析】

（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷的關(guān)系即可；

（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)當(dāng)時(shí)，

恒成立，求的范圍即可；

（3）令，則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根，再求解即可.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，從而，

所以函數(shù)為偶函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，從而，

所以函數(shù)為奇函數(shù).

當(dāng)且時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)不是奇函數(shù)；

因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)不是偶函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；

當(dāng)且時(shí)，函數(shù)無(wú)奇偶性.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，

.

又因?yàn)?/span>為單調(diào)遞增函數(shù)，，即，

所以，由，

故的取值范圍為.

（3）函數(shù)

，

令，則，

由函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，

知函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，

即方程在區(qū)間上有唯一的實(shí)根，

故方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，有唯一實(shí)根1，不適合.

當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上有唯一實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根，

知在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，得，即兩個(gè)零點(diǎn)為和，不適合；

當(dāng)時(shí)，不存在.

當(dāng)，即時(shí)，有唯一的零點(diǎn)2，不適合；

當(dāng)時(shí)，，即，適合.

綜上，的取值范圍為.