Question

5．判斷下列方程在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，8）上是否存在實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由．
（1）$\frac{2}{x}$+2x=0；
（2）log₂x+3x-2=0．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解判斷．
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）方程$\frac{2}{x}$+2x=0等價(jià)為2+2x²=0，即x²=-1，此時(shí)方程無(wú)解，故在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，8）上是不存在實(shí)數(shù)解．
（2）設(shè)f（x）=log₂x+3x-2，則函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，8）上為增函數(shù)，
則f（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$-2=-1+$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$＜0，
f（8）=log₂8+3×8-2=3+24-2=25＞0，
則函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，8）上存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)，即方程在（$\frac{1}{2}$，8）上存在實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件是解決本題的關(guān)鍵．