Question

15．定義運算$|\begin{array}{l}{a}&\\{c}&9vfl7v5\end{array}|$=ad-bc，若函數f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{-cosx}\\{2cosx}&{\sqrt{3}cosx}\end{array}|$+m（x∈R，m為實常數）．當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，f（x）的最大值和最小值之和為3．
（1）求f（x）的表達式；
（2）函數y=f（x）的圖象經過怎樣的變換可以得到y(tǒng)=sinx的圖象？

Answer 1

分析 （1）根據定義，求出函數f（x）的表達式，根據函數的最值之間的關系建立方程求出m的值即可得到結論．
（2）根據三角函數的圖象變換關系進行求解即可．

解答 解：（1）由定義得f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{-cosx}\\{2cosx}&{\sqrt{3}cosx}\end{array}|$+m=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+m-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-1，
當∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，
即當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為-2+m-1=m-3，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，函數取得最大值為y=2sin$\frac{π}{6}$+m-1=m，
∵當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，f（x）的最大值和最小值之和為3．
∴m-3+m=3，即2m=6，m=3，
則f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
（2）將f（x）的同學沿著y軸向下平移2個單位得到y(tǒng)=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{6}$）=sin2（x-$\frac{π}{12}$）
然后沿著x軸向左平移$\frac{π}{12}$個單位得到y(tǒng)=sin2x．
然后縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，即得到y(tǒng)=sinx．

點評 本題主要考查三角函數圖象變換以及函數最值的應用，根據定義求出函數的解析式，結合三角函數的圖象和性質求出m的值是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．