Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有相同的切線．
（1）求實(shí)數(shù)a、b、c的值；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[-2，m]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）通過f（2）=0求出a，利用兩個(gè)函數(shù)點(diǎn)P處有相同的切線，就是兩個(gè)導(dǎo)函數(shù)在2處的導(dǎo)函數(shù)值相等，求出b，c．
（2）寫出函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的表達(dá)式，通過導(dǎo)數(shù)推出F（x）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)m∈（-2，

2

3

]以及m＞

2

3

，求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵f（x），g（x）的圖象過P（2，0），∴f（2）=0
即2×2³+a×2=0，a=-8．…（2分）
∴f（x）=2x³-8x
f′（x）=6x²-8，g′（x）=2bx…（4分）
f′（2）=6×4-8=16
又g′（2）=4b
16=4b∴b=4
∴g（x）=4x²+c
把（2，0）代入得：0=16+c，∴c=-16
∴g（x）=4x²-16，
綜上a=-8，b=4，c=-16…（6分）
（2）F（x）=2x³+4x²-8x-16，F(xiàn)′（x）=6x²+8x-8，
解不等式

F′(x)=6x2+8x-8≥0．

得x≤-2或x≥

2

3

．
即函數(shù)的調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-2]，[

2

3

，+∞）
同理，由F′（x）≤0，得-2≤x≤

2

3

，即函數(shù)的減區(qū)間為：[-2，

2

3

]．…（8分）
因此，當(dāng)-2＜m≤

2

3

時(shí)，F(xiàn)(x)min=F(m)=2m3+4m2-8m-16；…（10分）
當(dāng)m＞

2

3

時(shí)，F(xiàn)(x)min=F(

2

3

)=-

512

27

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導(dǎo)函數(shù)的求法以及導(dǎo)數(shù)幾何意義，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．注意分類討論的思想的應(yīng)用．