Question

2．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a=1；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由a＞0，由導(dǎo)數(shù)大于0求得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅲ）對a討論，當(dāng)2-$\frac{1}{a}$≤0，當(dāng)0＜2-$\frac{1}{a}$＜1，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）依題意有x＜2，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{1}{x-2}$，
在點（1，f（1））處的切線斜率為a-1，
由已知可得，a-1=0，即a=1；
（Ⅱ）f′（x）=a+$\frac{1}{x-2}$=a[x-（2-$\frac{1}{a}$）]•$\frac{1}{x-2}$，
當(dāng)a＞0時，2-$\frac{1}{a}$＜2，
令f′（x）＞0，解得x＜2-$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得2-$\frac{1}{a}$＜x＜2，
所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，2-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間是（2-$\frac{1}{a}$，2）；
（Ⅲ）當(dāng)2-$\frac{1}{a}$≤0，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
所以f（x）的最小值為f（1）=a；
當(dāng)0＜2-$\frac{1}{a}$＜1即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，
f（x）在（0，2-$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，在（2-$\frac{1}{a}$，1）是減函數(shù)，
所以需要比較f（0）=ln2和f（1）=a兩個值的大小，
因為${e}^{\frac{1}{2}}$＜${3}^{\frac{1}{2}}$＜2＜e，所以$\frac{1}{2}$＜ln$\sqrt{3}$＜ln2＜lne=1，
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜ln2時最小值為a，當(dāng)ln2≤a＜1時，最小值為ln2，
當(dāng)2-$\frac{1}{a}$≥1，即a≥1時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，所以最小值為ln2．
綜上，當(dāng)0＜a＜ln2時，f（x）為最小值為a；
當(dāng)a≥ln2時，f（x）的最小值為ln2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．