Question

20.如圖，直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)y=x²－4交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)y=－5交于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方(含點(diǎn)A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ面積的最大值.

Answer 1

20. [解] (1)解方程組得

即A(－4，－2)，B(8，4).從而AB的中點(diǎn)為M(2，1).

由k_AB=,得線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y－1=－2(x－2).

令y=－5,得x=5，∴Q(5,－5).

(2)直線(xiàn)OQ的方程為x+y=0.設(shè)P(x，x²－4).

∵點(diǎn)P到直線(xiàn)OQ的距離

d==|x²+8x－32|,|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|d=|x²+8x－32|.

∵P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方的點(diǎn)，且P不在直線(xiàn)OQ上，

∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8.

∵函數(shù)y=x²+8x－32在區(qū)間［－4，8］上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x=－4時(shí)，|x²+8x－32|=48，當(dāng)x=8時(shí)，|x²+8x－32|=96,

∴當(dāng)x=8時(shí)，△OPQ的面積取到最大值×96=30.