Question

2．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1時有極值0．
（1）求常數(shù)a，b的值； 
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．  
（3）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1處有極值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通過求導(dǎo)函數(shù)，再代入列方程組，即可解得a、b的值；
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）利用（1）（2）的結(jié)果直接求解函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，（a＞1）函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0．
解得a=2，b=9．
（2）f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞）
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-3），（-1，+∞），減區(qū)間為：（-3，-1）．
（3）由（2）可知f（x）的極小值：f（-1）=0，
極大值為：f（-3）=-27+54-27+4=4．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．