Question

12．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，已知B=60°，c=2，若b=2$\sqrt{3}$，則△ABC的面積是2$\sqrt{3}$；若滿足條件的三角形恰有兩個(gè)，則b的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 若b=2$\sqrt{3}$，利用正弦定理可求sinC，利用大邊對(duì)大角可求C，進(jìn)而可求A，利用三角形面積公式即可得解；若滿足條件的三角形恰有兩個(gè)，由已知條件，根據(jù)正弦定理用b表示出sinC，由∠B的度數(shù)及正弦函數(shù)的圖象可知滿足題意△ABC有兩個(gè)C的范圍，然后根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sinC的范圍，進(jìn)而求出b的取值范圍．

解答 解：在△ABC中，∵b=2$\sqrt{3}$，B=60°，c=2，
∴利用正弦定理可得：sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵c＜b，可得：C＜B=60°，
∴C=30°，A=180°-B-C=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
若滿足條件的三角形恰有兩個(gè)，
由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，即$\frac{2}{sinC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
變形得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}$，
由題意得：當(dāng)C∈（90°，120°）時(shí)，滿足條件的△ABC有兩個(gè)，
所以：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}$＜1＜1，解得：$\sqrt{3}$＜b＜2，
則b的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2）．
故答案為：2$\sqrt{3}$，（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記特殊角的三角函數(shù)值以及靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理這個(gè)隱含條件，屬于中檔題．