Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n．
（I）證明：數列{a_n+2}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），求數列{}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，由此利用構造法能夠證明數列{a_n+2}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式a_n．
（Ⅱ）由，得，由此利用錯位相減法能夠求出數列{}的前n項和T_n．
解答：（I）證明：由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
當n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
當n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數列．
∴，
∴．
（Ⅱ）解：∵，
∴b_n=n（n+1），
∴，
∴
=1-+-+…+
=1-
=．
點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意構造法和錯位相減法的合理運用．