Question

（08年哈六中）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點的準線與軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

   (I) 求橢圓的方程及離心率；

   (II)若求直線PQ的方程；

   (III)設，過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明

。

Answer 1

解析：由題意，可設橢圓的方程為

  由已知得

         

解得

所以橢圓的方程為，離心率 ............3分

(II)解： 由(I)可得

設直線PQ的方程為由方程組

          

得     

依題意 得

          

設 則

                                                ①

                                                ②

由直線PQ的方程得    于是

             ③

      ④..........................6分                        

由①②③④得從而

所以直線PQ的方程為

           或  .............8分

(III)證明：由已知得方程組

          

注意解得     ..............................10分

因故          

         

而所以

            ...............................12分