Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）由（I）知當x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，取x=，則，再分別令n=1，2，3，…，n得到n個不等式，相加即得．
解答：解：x＞-1，f′（x）=e^x-．
（I）由于f′（x）=e^x-在（-1，+∞）上是增函數(shù)，且f′（0）=0，
∴當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（-1，0）．
（II）由（I）知當x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=，則，
于是e≥ln2-ln1+1，
≥ln3-ln2+1，
≥ln4-ln3+1，
…
≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，，得證．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應用．解題時要認真審題，仔細解答．