Question

設(shè)函數(shù)其中，

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明不等式：.

（3）求證：ln(n+1)> +++L（）．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）略     （3）略

【解析】本試題主要是考查了單調(diào)性的運(yùn)用，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想，證明不等式的問(wèn)題。

解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917310084454365/SYS201206191732253289958848_DA.files/image006.png">，

又   ———2分

由解得                                                     

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由上表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增。所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.   ———4分                                   

（2）

對(duì)求導(dǎo)，得：      ——6分

當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917310084454365/SYS201206191732253289958848_DA.files/image023.png">在上連續(xù)，所以 在內(nèi)是增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，即   —8分

同理可證      ——10分

(3)由<ln(x+1)知ln(+1)>, ln(+1)>,L，ln(1+1)> ——12分

所以ln(+1)+ln(+1)+L+ln(1+1)> ++L+

所以ln(n+1)> +++L（）