Question

如圖,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,CB=1,CA=, AA₁=,M為側(cè)棱CC₁上一點(diǎn),AM⊥BA₁.

(1)求證:AM⊥平面A₁BC;

(2)求二面角B-AM-C的大小;

(3)求點(diǎn)C到平面ABM的距離.

(文)如圖,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,CB=1,CA=, AA₁=,M為側(cè)棱CC₁上一點(diǎn),AM⊥A₁C.

(1)求異面直線A₁B與AC所成的角的余弦值;

(2)求證:AM⊥平面A₁BC;

(3)求二面角M-AB-C的正切值.

Answer 1

解法一：(1)證明:在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,易知面ACC₁A₁⊥面ABC,

∵∠ACB=90°,

∴BC⊥面ACC₁A₁.                                                       

∵AM面ACC₁A₁,∴BC⊥AM.

∵AM⊥BA₁,且BC∩BA₁=B,

∴AM⊥平面A₁BC.                                                       

(2)解:設(shè)AM與A₁C的交點(diǎn)為O,連結(jié)BO,

由(1)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,

∴∠BOC為二面角B-AM-C的平面角.                                       

在Rt△ACM和Rt△A₁AC中,∠OAC+∠ACO=90°,

∴∠AA₁C=∠MAC.

∴Rt△ACM∽R(shí)t△A₁AC.

∴AC²=MC·AA₁.

∴MC=.                                                           

∴在Rt△ACM中,AM=.

∵AC·MC=AM·CO,

∴CO=1.

∴在Rt△BCO中,tan∠BOC==1.

∴∠BOC=45°,

故所求二面角的大小為45°.                                            

(3)解:設(shè)點(diǎn)C到平面ABM的距離為h,易知BO=,

可知S_△ABM=·AM·BO=××=.                                

∵V_C-ABM=V_M-ABC,                                                       

∴hS_△ABM=MC·S_△ABC.

∴h=.

∴點(diǎn)C到平面ABM的距離為.                                         

解法二：(1)同解法一.                                                    

(2)如圖以C為原點(diǎn),CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(,0,0),A₁(,0,),B(0,1,0),

設(shè)M(0,0,z₁),

∵AM⊥BA₁,

∴=0,

即-3+0+z₁=0,

故z₁=.

∴M(0,0,).                                                              

設(shè)向量m=(x,y,z)為平面AMB的法向量,

則m⊥,m⊥,

則

即

令x=1,平面AMB的一個(gè)法向量為m=(1,,),                               

顯然向量是平面AMC的一個(gè)法向量,

cos〈m,〉=.

易知,m與所夾的角等于二面角B-AM-C的大小,故所求二面角的大小為45°.     

(3)所求距離為,

即點(diǎn)C到平面ABM的距離為.                                            

(文)解法一：(1)在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,

AC∥A₁C₁,∴∠BA₁C₁是異面直線A₁B與AC所成的角.                            

連結(jié)BC₁,

∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁,

∴CC₁⊥A₁C₁.

又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°,即A₁C₁⊥B₁C₁,

∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C.

∵BC₁平面BB₁C₁C,

∴A₁C₁⊥BC₁.

在Rt△BCC₁中,BC=1,CC₁=AA₁=,

∴BC₁=.

在Rt△A₁BC₁中,A₁C₁=,BC₁=,

∴A₁B=.

∴cos∠BA₁C₁=.                                                

(2)證明:由(1)可知BC⊥AC,BC⊥CC₁,

∴BC⊥平面ACC₁A₁.

又AM平面ACC₁A₁,則BC⊥AM.

∵AM⊥A₁C,

∴AM⊥平面A₁BC.                                                          

(3)在△ABC中,作AB邊上的高CH,垂足為H,連結(jié)MH,顯然CH是MH在平面ABC上的射影.

∴MH⊥AB.

∴∠MHC是二面角M-AB-C的平面角.                                        

∵AM⊥A₁C,

∴∠MAC=∠AA₁C,則tan∠MAC=tan∠AA₁C,

即.

又AA₁=,AC=,

∴MC=.

又CH=,

故在Rt△MCH中,

tan∠MHC=.                                               

解法二：(1)如圖,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(,0,0),A₁(,0,),B(0,1,0),

∴=(,1,),=(,0,0).                                     

設(shè)異面直線A₁B與AC所成的角為θ₁,則

cosθ₁=.                                       

(2)同解法一.                                                            

(3)設(shè)M(0,0,z₁),

∵AM⊥A₁C,∴=0,

即-3+0+z₁=0,故z₁=.

∴M(0,0,).                                                          

設(shè)向量m=(x,y,z)為平面AMB的法向量,

則m⊥,m⊥,

則

即令x=1,

則平面AMB的一個(gè)法向量為m=(1,),                               

顯然向量n=(0,0,1)是平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)所求二面角的大小為θ₂,

則cosθ₂=.

∴tanθ₂=.