Question

11．對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f（x）=-f（2a-x），則稱f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”．給定下列函數(shù)：①f（x）=$\frac{1}{x+1}$，②f（x）=（x+1）²；③f（x）=x³；④f（x）=sin（x+1），其中的“準(zhǔn)奇函數(shù)”是①④（寫出所有“準(zhǔn)奇函數(shù)”的序號）

Answer 1

分析 判斷對于函數(shù)f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)是：若存在常數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．

解答 解：對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，
都有f（x）=-f（2a-x）知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，
對于①：f（x）=$\frac{1}{x+1}$，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（-1，0）對稱，
對于②：f（x）=（x+1）²，函數(shù)無對稱中心，
對于③：f（x）=x³，函數(shù)f（x）關(guān)于（0，0）對稱，
對于④：f（x）=cosx，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（kπ，0）對稱，
故答案為：①④．

點評 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．