Question

設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8．
(Ⅰ)求點(diǎn)M(x，y)的軌跡C的方程；
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(0，3)作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為菱形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由

Answer 1

解：(Ⅰ)∵，且，
∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為8，
∴點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為。
(Ⅱ)∵l過(guò)y軸上的點(diǎn)（0，3），若直線l是y軸，則A，B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，
這時(shí)，
∴P與O重合，與四邊形OAPB是菱形矛盾，
∴假設(shè)直線l的斜率存在，其方程為y=kx+3，
，
由，消y，得，
此時(shí)，恒成立，
且，
∵，
∴四邊形OAPB是平行四邊形，
若存在直線l使得四邊形OAPB是菱形，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴k=0，
∴存在直線l，使得四邊形OAPB是菱形，其方程為y=3。