Question

曲線C₁：x²+y²=1在矩陣M=（

a 0 o b

）（a＞0，b＞0）的變換作用下得到曲線C₂：

x2

4

+y²=1．     
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的特征值及對應(yīng)的一個特征向量．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定點在矩陣M=（

a 0 o b

）（a＞0，b＞0）對應(yīng)的變換作用下得到點坐標之間的關(guān)系，利用變換前后的方程，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)曲線C₁上的任意一點（x，y）在矩陣M的對應(yīng)變換作用下所得的點為（x′，y′），
則（

a 0 o b

）

x   y

=

x′   y′

，
∴

x′=ax y′=by

，
由點（x′，y′）在曲線C₂上，得

a2x2

4

+b2y2=1，
∴

a2 4 =1 b2=1

，由a＞0，b＞0，解得

a=2 b=1

，
∴M=

2 0 0 1

；
（Ⅱ）由

.

λ-2 0 0 λ-1

.

=（λ-2）（λ-1）=0，解得：λ=1或2，
當λ=1時，由

-x+0•y=0 0•x+0•y=0

得對應(yīng)的特征向量為

α1

=

0   1

；
當λ=2時，由

0•x+0•y=0 0•x+y=0

得對應(yīng)的特征向量為

α2

=

1   0

．

點評：本題主要考查了矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解的能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．