Question

16．某公司科技小組研發(fā)一個新項目，預計能獲得不少于1萬元且不多于5萬元的投資收益，公司擬對研發(fā)小組實施獎勵，獎勵金額y（單位：萬元）和投資收益x（單位：萬元）近似滿足函數y=f（x），獎勵方案滿足如下兩個標準：①f（x）為單調遞增函數，②0≤f（x）≤kx，其中k＞0．
（1）若$k=\frac{1}{2}$，試判斷函數$f（x）=\sqrt{x}$是否符合獎勵方案，并說明理由；
（2）若函數f（x）=lnx符合獎勵方案，求實數k的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過判斷導函數的符號判斷結論即可；
（2）設$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，根據函數的單調性求出函數的最大值，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{x}$，∴$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}＞0$，
∴函數$f（x）=\sqrt{x}$是區(qū)間[1，5]上的單調遞增函數，滿足標準①，…（2分）
當x∈[1，4）時，$f（x）=\sqrt{x}=\frac{1}{{\sqrt{x}}}•x＞\frac{1}{2}x$，不滿足標準②，
綜上所述：$f（x）=\sqrt{x}$不符合獎勵方案．                              …（4分）
（2）∵函數f（x）=lnx符合獎勵標準，
∴f（x）≤kx，即lnx≤kx，∴$k≥\frac{lnx}{x}$，…（6分）
∴設$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令g'（x）=0，∴x=e，
x，g′（x），g（x）的變化如下：

x	（1，e）	e	（e，5）
g'（x）	+	0	$\_$
g（x）	增	極大值	減

…（8分）
∴$g（x）=\frac{lnx}{x}$的極大值是$g（e）=\frac{1}{e}$，且為最大值，
∴$k≥\frac{1}{e}$，…（10分）
又∵函數f（x）=lnx，x∈[1，5]，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，∴函數f（x）在區(qū)間[1，5]上單調遞增，滿足標準①，
∵x∈[1，5]，∴f（x）=lnx≥0，
綜上所述：實數k的最小值是$\frac{1}{e}$．                                    …（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．