Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)建立等式關(guān)系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，要使f(x)-a2＞

2

3

恒成立，只需f(x) min＞a2+

2

3

，即可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一個(gè)根，解得b=

3

2

．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，則x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵當(dāng)x∈（1，2）時(shí)f′（x）＜0，x∈（2，3）時(shí)f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 f(2)=

2

3

+a．--------------（10分）
若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，要使f(x)-a2＞

2

3

恒成立，只需f(2)＞a2+

2

3

，----（12分）
即

2

3

+a＞a2+

2

3

，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．