Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n，設(shè)數(shù)列{b_n}，bn=2an．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（2）求R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析：（1）知S_n=n²+n，由a_n和S_n的關(guān)系求出a_n，分為n=1時，n≥2時，n=1時適合n≥2時的式子，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再求出b_n，由等比數(shù)列的前n項和求出T_n；
（2）由（1）知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，用錯位相減法求R_n，寫出R_n的表達(dá)式，等式兩邊同乘以數(shù)列{b_n}的公比4得到一個新的等式，兩式左右兩邊分別相減，再用等比數(shù)列的前n項和可求R_n．

解答：解：（1）∵n=1時，a₁=S₁=2，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∴a_n=2n，∴b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=4¹+4²+…+4ⁿ
=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)．
（2）R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×4¹+4×4²+…+2n×4ⁿ…①
兩邊同乘以4得：4R_n=2×4²+4×4³+…+2n×4ⁿ⁺¹…②
①-②得：-3R_n=2×4¹+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-2n×4ⁿ⁺¹
=2×

4(1-4n)

1-4

-2n×4ⁿ⁺¹=（

8

3

-8n）4ⁿ-

8

3

，
∴R_n=（

8

3

n-

8

9

）4ⁿ+

8

9

．

點(diǎn)評：由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項為：an=

s1      (n=1) sn-sn-1(n≥2)

，用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積．