Question

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)．
（1）證明AD⊥D₁F；  
（2）求AE與D₁F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）設(shè)AA₁=2，求三棱錐F-A₁ED₁的體積V_F-A1ED1．

Answer 1

解法一：（1）∵AC₁是正方體，∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F．
（2）取AB中點(diǎn)G，連接A₁G，F(xiàn)G．
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
設(shè)A₁G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，
因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn)，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
∴∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90°，即直線AE與D₁F所成角為直角．
（3）由（1）知AD⊥D₁F，由（2）知AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED．
又因?yàn)镈₁F?面A₁FD₁，
所以面AED⊥面A₁FD₁．
（4）連接GE，GD₁．
∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，
∵AA₁=2，
∴面積S_△A1GE=S_ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=
又=
∴
解法二：利用用向量求解
解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）∵，，得，∴AD⊥D₁F；
（2）又，得=
∴AE與D₁F所成的角為90°
（3）由題意：，
設(shè)平面AED的法向量為，設(shè)平面A₁FD₁的法向量為，
由
由

得=
∴面AED⊥面A₁FD₁．
（4）∵AA₁=2，，
平面A₁FD₁的法向量為
=，
∴E到平面A₁FD₁的距離=，
∴．
分析：解法一：傳統(tǒng)證法．（1）利用線面垂直，證明線線垂直；
（2）設(shè)A₁G與AE相交于點(diǎn)H，先證∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，再求直線AE與D₁F所成角；
（3）利用線面垂直，證明面面垂直；
（4）利用轉(zhuǎn)換底面的方法，求三棱錐的體積；
解法二：向量證法．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）利用，可證AD⊥D₁F；
（2）求得=，可求AE與D₁F所成的角；（3）由題意：，
設(shè)平面AED的法向量為，設(shè)平面A₁FD₁的法向量為，證明平面的法向量垂直，即可證明面AED⊥面A₁FD₁．
（4）先求得=，計(jì)算E到平面A₁FD₁的距離=，即可求三棱錐的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直，考查三棱錐的體積，兩法并用，注意比較，細(xì)細(xì)體會(huì)．