Question

若函數(shù)f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-mx-m恰有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

1. A.
   （0，]
2. B.
   [，+∞）
3. C.
   [0，+∞）
4. D.
   （0，）

Answer 1

A
分析：由題意可得函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，f（x）=，表示2條線段．由條件得，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=mx+m的圖象只有一個交點，數(shù)形結(jié)合可得直線的斜率m滿足 0＜m≤，由此求得實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：∵函數(shù)f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)．
當x∈（0，1]時，f（x）=x，故x∈（-1，0]時，（x+1）∈，（0，1]，f（x+1）=-f（x）=x+1，
∴f（x）=-x-1，即 f（x）=，表示2條線段．
若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m 恰有一個零點，故函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=mx+m的圖象只有一個交點，如圖所示：
故有 0＜m≤，即實數(shù)m的取值范圍是（0，]，
故選A．
點評：此題是個中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學生創(chuàng)造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．