Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對(duì)任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)證明：。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵對(duì)任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
∴，
∴，即，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
∵，且，
∴，
∴，
∴。
 (Ⅱ) 證明：∵，
∴，
∴所證不等式，
即，
①先證右邊不等式，
令，
則，
當(dāng)x＞0時(shí)，，
所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，，即，
分別取，
得，
即，
也即，
即，
②再證左邊不等式，
令，
則，
當(dāng)x＞0時(shí)，，
所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，，即，
分別取，
得，
即，
也即，
即，
∴。