Question

（2006•浦東新區(qū)一模）無窮數(shù)列{a_n}中，an=

1

3n

，則a₂+a₄+a₆+…+a_2n+…=

1

8

．

Answer 1

分析：先證明數(shù)列{a_n}成等以

1

3

為首項，公比等于

1

3

的比數(shù)列，說明是a₂+a₄+a₆+…+a_2n一個公比為

1

9

，首項也是

1

9

的等比數(shù)列的和，用公式求出其表達式，再取極限即可得出正確答案．

解答：解：∵an=

1

3n

，an+1=

1

3n+1

∴

an+1

an

=

1

3

，a 1=

1

3

所以數(shù)列{a_n}構成以

1

3

為首項，公比等于

1

3

的等比數(shù)列
得a_2n=

1

3 2n

=

1

9 n

∴a₂+a₄+a₆+…+a_2n=

1 9 (1- 1 9 n )

1- 1 9

=

1

8

(1-

1

9 n

)
當n→+∞時，a₂+a₄+a₆+…+a_2n的極限是

1

8

故答案為：

1

8

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項與求和、數(shù)列的極限等知識點，屬于中檔題．在解題應注意公式和結論的正確理解與準確運用．