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證明一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和是無理數(shù).

證明:設(shè)a為有理數(shù),則令a=(m、n互質(zhì)).?

設(shè)b為無理數(shù),且a+b=c.?

假設(shè)c為有理數(shù),則c=(p、q互質(zhì)).?

∵a+b=c,?

∴b=c-a=-=.?

∵pn-mq∈Z,qn≠0,?

∴b為有理數(shù).這與b為無理數(shù)矛盾.?

∴假設(shè)不成立.?

∴c為無理數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點．我們知道，一個有理數(shù)可以表示為
qp
，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡述你的理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知圓與軸負半軸的交點為. 由點出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當時，試用表示點的坐標；

（2）當時，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道，一個有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當為有理數(shù)且時，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實軸長和虛軸長都對應(yīng)相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標、縱坐標和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說明你的理由并請嘗試給出構(gòu)造方法.

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點．我們知道，一個有理數(shù)可以表示為，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡述你的理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點．我們知道，一個有理數(shù)可以表示為，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡述你的理由．

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