Question

（理）正數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，常數(shù)

（1）求證：是一個(gè)定值；

（2）若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期；

（3）若數(shù)列是一個(gè)有理數(shù)等差數(shù)列，求．

 

Answer 1

【答案】

 

（理）證明：（1）                （1） 

       （2）

：     （3）

            （4）

                                                                      ……………4分

（2）計(jì)算                               ……………6分

根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，，，。。。。

當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列          ……………8分

所以時(shí)，數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，，，。。。。

所以當(dāng)且時(shí)，該數(shù)列的周期是2，                               ……………9分

當(dāng)時(shí)，該數(shù)列的周期是1，                                          ……………10分

（3）因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以

 化簡(jiǎn)，

是有理數(shù)                          ……………12分

設(shè),是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)為，均是非負(fù)整數(shù)

時(shí)，                                                  ……………14分

時(shí)=可以分解成8組，其中

只有符合要求，                                                         ……………16分

此時(shí)                                           ……………18分

或者，                                                          ……………12分

等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，。。。。

                                                               ……………14分

因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理等差數(shù)列

是一個(gè)自然數(shù)，                                                     ……………16分

此時(shí)                                     ……………18分

如果沒(méi)有理由，猜想：，解答    得2分

                                          得2分

 

【解析】略