Question

已知

AB

=（6，1），

CD

=（-2，-3），設(shè)

BC

=（x，y）（Ⅰ）若四邊形ABCD為梯形，求x、y間的函數(shù)的關(guān)系式；（Ⅱ）若以上梯形的對角線互相垂直，求

BC

．

Answer 1

分析：（I）因為

AB

與

CD

不共線，四邊形ABCD為梯形，所以

BC

∥

AD

，，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運算得到答案．
（2）由題可得：

AC

=

AB

+

BC

=(6+x，1+y)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)，∵

AC

⊥

BD

∴

AC

•

BD

=0，可得x與y的另一個關(guān)系式，進(jìn)而求出x與y．

解答：解：（I）由題意可得：

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(4+x，-2+y)，
∵

AB

與

CD

不共線，四邊形ABCD為梯形，
∴

BC

∥

AD

，，
所以（4+x）y=x（y-2），即x+4y=0．
所以x、y間的函數(shù)的關(guān)系式x+4y=0．
（2）由題意可得：

AC

=

AB

+

BC

=(6+x，1+y)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)
∵

AC

⊥

BD

∴

AC

•

BD

=0
所以（6+x）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，
即

x2+y2+4x-2y-15=0，又y=- 1 2 x代入上式，得 x=-6 y=3 或 x=2 y=-1

，
∴

BC

=(-6，3)或(2，-1)

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量加法的平行四邊形法則，以及利用向量的坐標(biāo)運算解決向量垂直因為．