Question

8．已知各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0，n∈N^*
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）化簡a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，從而解得；
（2）化簡$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$=（4n-1）2^n-1，從而利用錯位相減法求其前n項和．

解答 解：（1）由題意知，a_n＞0，
∵a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+4=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+4（n-1）=4n-1，
∴a_n=$\frac{1}{4n-1}$；
（2）$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$=（4n-1）2^n-1，
T_n=3+7•2+11•4+…+（4n-1）2^n-1，
2T_n=3•2+7•4+11•8+…+（4n-1）2ⁿ，
∴兩式作差可得，
T_n=-3-4（2+4+8+…+2^n-1）+（4n-1）2ⁿ
=-3-4$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（4n-1）2ⁿ
=（4n-5）2ⁿ+5．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的應用及構(gòu)造法的應用，同時考查了錯位相減法的應用．