Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，且a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），
（1）求數列{S_n}的通項公式；
（2）設S_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1．記P_n=S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，試求T_n，并證明P_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數列{S_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，利用裂項法求數列的和，即可得到結論．

解答：（1）解：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0．---------（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
又∵a₁=1，---------------（5分）
∴S_n=

1

2n-1

（n∈N₊）．---------------（7分）
（2）證明：∵S_n=

1

f(n)

，∴f（n）=2n-1．--------------------------（8分）
∴b_n=2（

1

2n

）-1+1=（

1

2

）^n-1．---------------------------------------（9分）
T_n=（

1

2

）⁰•（

1

2

）¹+（

1

2

）¹•（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1•（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）¹+（

1

2

）³+（

1

2

）⁵+…+（

1

2

）^2n-1
=

2

3

[1-（

1

4

）ⁿ]．-------------------------------------------------------（11分）
∴P_n=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

---------------（13分）
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)-------------------------------（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．