Question

如圖所示，、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，、為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知頂點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值；

（3）作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最大值，并求取最大值時(shí)的面積.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3），.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓方程需遵循定型、定位、定量，這里結(jié)合橢圓定義不難求得方程；（2）首先寫(xiě)出表達(dá)式然后將關(guān)于的二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元問(wèn)題，歸結(jié)為函數(shù)求最值，注意的隱含條件；（3）求直線被曲線截得的弦長(zhǎng)是解析幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式然后求最值，一般要關(guān)注判別式，否則易犯錯(cuò).

試題解析：（1）由已知得，∴橢圓的方程為 2分

（2） ∵,且，

∴ 4分

∴僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí) 5分

（3）設(shè)， ∵，∴可設(shè)直線的方程為：，代入，得 7分

由韋達(dá)定理知：，， 9分

又,

∴

僅當(dāng)時(shí)， 12分

而此時(shí)點(diǎn)到直線：的距離，

∴. 13分

考點(diǎn)：1.橢圓方程與性質(zhì)的互求；2.直線與橢圓的常規(guī)問(wèn)題.