Question

【題目】已知函數(shù)，且在處切線垂直于軸．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)在上的最小值；

（3）若恒成立，求滿足條件的整數(shù)的最大值．

（參考數(shù)據(jù)，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）0；（3）2.

【解析】

（1）依題意，，由此即可求得的值；

（2）求導(dǎo)，研究函數(shù)在，上的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值；

（3）先分析，再證明當(dāng)時滿足條件即可得到的最大值．

（1）因為在處切線垂直于軸，則

因為，則，則

（2）由題意可得，注意到，

則則

因此單調(diào)遞減，，

因此存在唯一零點使得，則在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，，則在上恒成立

從而可得在上單調(diào)遞增，則

（3）必要條件探路

因為恒成立，令，則

因為，由于為整數(shù)，則，

因此

下面證明恒成立即可

①當(dāng)時，由（1）可知，則

故，設(shè)，

則，則在單調(diào)遞減

從而可得，由此可得在恒成立．

②當(dāng)時，下面先證明一個不等式：，設(shè)

則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

因此，那么

由此可得

則，

因此單調(diào)遞增，，

則在上單調(diào)遞增，因此

綜上所述：的最大值整數(shù)值為．