Question

15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)的直線x-y-$\sqrt{3}$=0與C相交于M，N兩點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，且OP斜率是-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l分別與橢圓C和圓D：x²+y²=r²（b＜r＜a）相切于點(diǎn)A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，由MN所在直線斜率為1，P為MN的中點(diǎn)，且OP斜率是-$\frac{1}{4}$及M，N都在橢圓上列式得到a，b的關(guān)系，再由焦點(diǎn)在直線x-y-$\sqrt{3}$=0上及隱含條件得a，b的另一等式，聯(lián)立方程組即可求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，再設(shè)出切點(diǎn)A（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出切點(diǎn)A的坐標(biāo)，由直線和圓相切得到$r=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，結(jié)合直線和橢圓聯(lián)立所得方程的判別式等于0，把k，m用含有r的代數(shù)式表示，再由|AB|²=|OA|²-r²，最后化為含有r的函數(shù)式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=1$，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
由此可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{4}$，即a²=4b²，
又由題意知，C的右焦點(diǎn)是$（\sqrt{3}，0）$，故a²-b²=3，
因此a²=4，b²=1，
橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，A（x₀，y₀），
直線l的方程為：y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由判別式△=0，得m²=1+4k² ①，
${x}_{0}=-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}=-\frac{4k}{m}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=-\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{m}=\frac{1}{m}$．
直線l與x²+y²=r²相切，$r=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即m²=r²（1+k²），再由①得${k}^{2}=\frac{{r}^{2}-1}{4-{r}^{2}}$，${m}^{2}=\frac{3{r}^{2}}{4-{r}^{2}}$，
$|AB{|}^{2}=|OA{|}^{2}-{r}^{2}={{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-{r}^{2}=\frac{16{k}^{2}+1}{{m}^{2}}$-r²=$\frac{16\frac{{r}^{2}-1}{4-{r}^{2}}}{\frac{3{r}^{2}}{4-{r}^{2}}}-{r}^{2}=5-（\frac{4}{{r}^{2}}+{r}^{2}）$，
∵$\frac{4}{{r}^{2}}+{r}^{2}≥2\sqrt{\frac{4}{{r}^{2}}•{r}^{2}}=1$，當(dāng)r=$\sqrt{2}∈$（1，2）時取等號，∴$5-（\frac{4}{{r}^{2}}+{r}^{2}）≤1$，
因此當(dāng)r=$\sqrt{2}∈$（1，2）時，|AB|的最大值是1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線，圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，特點(diǎn)是運(yùn)算量大，要求考生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是壓軸題．