Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3）和直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，試求圓C的方程和切線的方程；
（2）若圓心上存在點(diǎn)M使|MA|=2|MO|（O為原點(diǎn)），求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（2）設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴圓心C（3，2）．
若k不存在，不合題意；
若k存在，設(shè)切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
則所求切線為y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，C（a，2a-4），
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤2.4．

點(diǎn)評 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．