Question

已知x，y滿足（x-y-1）（x+y）≤0，則（x+1）²+（y+1）²的最小值是（　�。�

• A、0
• B、

  1

  2

• C、

  2

  2

• D、2

Answer 1

分析：由題意（x+1）²+（y+1）²的幾何意義是點（x，y）與點（-1，-1）的距離的平方，（x+1）²+（y+1）²的最小值即為點（-2，-2）到直線y-x+1=0的距離的平方，由此問題轉(zhuǎn)化為求點（-1，-1）到直線y-x+1=0的距離．

解答：解：由題意（x+1）²+（y+1）²的幾何意義是點（x，y）與點（-1，-1）的距離的平方
實數(shù)x，y滿足（x-y-1）（x+y）≤0，即

x-y-1≤0 x+y≥0

或

x-y-1≥0 x+y≤0

，
即點（x，y）在如下圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)運動，

∴兩點（x，y）與點（-1，-1）的距離的最小值，
即為點（-1，-1）到直線y-x+1=0的距離
由于d=

|1-1+1|

2

=

2

2

∴（x+1）²+（y+1）²的最小值為

2

2

．
故選：C

點評：本題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，點到直線的距離公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，將求（x+1）²+（y+1）²的最小值問題轉(zhuǎn)化為點（-1，-1）到直線y-x+1=0的距離的平方，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題考查析幾何的根本問題，題目難度不大，但很有價值．