Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinC-$\sqrt{3}ccosB=0$．
（1）求角B；
（2）若b=7，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，結(jié)合sinC≠0，cosB≠0，可求$tanB=\sqrt{3}$，結(jié)合B的范圍即可解得B的值．
（2）由余弦定理可得9=a²+c²-ac，從而${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，從而可求△ABC周長的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)?bsinC-\sqrt{3}ccosB=0$，
∴$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，…（2分）
因?yàn)閟inC≠0，cosB≠0，
∴$tanB=\sqrt{3}$，結(jié)合0＜B＜π可解得：$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由7²=a²+c²-2accosB，得49=a²+c²-ac，…（7分）
∴${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，
∴a+c≤14（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=7時(shí)取等號(hào)），
∴△ABC周長的最大值為21．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．