Question

【題目】設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．

f′（x）=,

令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．

（i）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．

①當(dāng)0＜a≤時(shí)，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．

②當(dāng)a＞時(shí)，△＞0，設(shè)方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1＜x2．

當(dāng)x∈（﹣1，x1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

①當(dāng)0≤a≤時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，符合題意．

②當(dāng) ＜a≤1時(shí)，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0．

③當(dāng)1＜a時(shí)，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

又f（0）=0，∴x∈（0，x2）時(shí)，f（x）＜0，x趨向于正無(wú)窮時(shí)函數(shù)值大于0，不符合題意，舍去；

④當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

因此x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，

當(dāng)x＞1﹣時(shí)，

ax2+（1﹣a）x＜0，此時(shí)f（x）＜0，不合題意，舍去．

綜上所述，a的取值范圍為[0，1]．

故答案為：A．