Question

橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形為菱形，若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)出直線AB的方程，利用菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，可得原點(diǎn)到直線AB的距離等于半焦距，從而可求橢圓的離心率．
解答：解：由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），則直線AB的方程為：
即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)
∴原點(diǎn)到直線AB的距離為
∴a²b²=c²（a²+b²）
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²）
∴a⁴-3a²c²+c⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∴
∵0＜e＜1
∴
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，得到原點(diǎn)到直線AB的距離等于半焦距．