Question

20．對于整數(shù)p₁，p₂，…，p_n（n∈N^*），我們稱$\frac{n}{\frac{1}{{p}_{1}}+\frac{1}{{p}_{2}}+…+\frac{1}{{p}_{n}}}$為他們的調(diào)和平均數(shù)，已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{n（n+1）}{2n+1}$，且數(shù)列的第n項(xiàng)a_n是數(shù)列{b_n}中的前n項(xiàng)的調(diào)和平均數(shù)．
（1）試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）計算$\underset{lim}{x-∞}\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$；
（3）求出數(shù)列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$}中數(shù)值最大的項(xiàng)和數(shù)值最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用新定義，由數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算，及$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{2}}$=0，計算即可得到所求；
（3）將數(shù)列$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$變形為$\frac{1}{4+\frac{1}{{n}^{2}+n}}$，令t=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$≤$\frac{1}{2}$，即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{n（n+1）}{2n+1}$=$\frac{n}{\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}}$，
即有$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n+1}{n+1}$，
當(dāng)n=1時，b₁=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n＞1時，$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{n}$，
兩式相減可得，$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n+1}{n+1}$-$\frac{2n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
即有b_n=n（n+1），
則b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{n（n+1），n＞1}\end{array}\right.$；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n（n+1）}{（2n+1）^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}$
=$\frac{1+0}{4+0+0}$=$\frac{1}{4}$；
（3）$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4+\frac{1}{{n}^{2}+n}}$，
令t=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$≤$\frac{1}{2}$，
則0＜t≤$\frac{1}{2}$，即有$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$∈[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$）．
則數(shù)列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$}中最小的項(xiàng)為$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{_{1}}$=$\frac{2}{9}$，
無最大項(xiàng)．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，以及數(shù)列的極限的求法和數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．