Question

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)，詳見解析.

【解析】

（1）由題意得出，由題意知點(diǎn)在橢圓上，由此得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）解法一：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由得出，并寫出直線的方程，由此可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點(diǎn)，由此得出結(jié)論；

解法二：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，由點(diǎn)差法可得出直線的斜率為，可寫出直線的方程，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點(diǎn)，由此得出結(jié)論.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.

由于拋物線的準(zhǔn)線截橢圓所得弦長為，

則點(diǎn)在橢圓上，則有，解得，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）法一：顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時，易知，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得：.

設(shè)，，則，解得.

因為直線是線段的垂直平分線，

故直線的方程為，即，即.

令，此時，，于是直線過定點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點(diǎn).

綜上所述，直線過定點(diǎn)；

法二：顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)，，

則有，，

兩式相減得，

由線段的中點(diǎn)為，則，，

故直線的斜率，

因為直線是線段的垂直平分線，

故直線的方程為，即，即.

令，此時，，于是直線過定點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點(diǎn)

綜上所述，直線過定點(diǎn).