Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈r）滿足f（1）=1，f（-1）=0，且對任意實數(shù)x都有f（x）≥x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-mx（m∈R），求m的取值范圍，使g（x）在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（-1）=0，列出方程組，求出b的值以及a、c的關(guān)系；
再根據(jù)f（x）≥x恒成立，列出不等式組，求出a、c的值；
（2）求出g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出對稱軸x=2m-1滿足的條件，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（-1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{1}{2}$，
a+c=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$-a；
又對任意實數(shù)x都有f（x）≥x，
∴ax²+$\frac{1}{2}$x+（$\frac{1}{2}$-a）≥x，
即ax²-$\frac{1}{2}$x+（$\frac{1}{2}$-a）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{4}-4a（\frac{1}{2}-a）≤0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$，∴c=$\frac{1}{4}$；
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$；
（2）∵g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{2}$-m）x+$\frac{1}{4}$，其中m∈R，
且二次函數(shù)g（x）的圖象是拋物線，對稱軸是x=2m-1，
∴當(dāng)2m-1≤-1或2m-1≥1，
即m≤0或m≥1時，
g（x）在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)；
∴m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．