Question

2．已知動圓M與圓O₁：x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓O₂：x²+y²-6x-91=0內切，曲線C為動圓圓心M的軌跡；則下列命題中：
（1）動圓圓心M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1；
（2）若∠O₁MO₂=60°，則S${\;}_{△{O}_{1}M{O}_{2}}$=27$\sqrt{3}$；
（3）以坐標原點為圓心半徑為6的圓與曲線C沒有公共點；
（4）動點M（x，y），（y≠0）分別與兩定點（-6，0），（6，0）連線的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，
其中正確命題的序號是：（1）（4）．

Answer 1

分析 對于（1）求出兩個圓的圓心與半徑，設出動圓的圓心與半徑，判斷動圓的圓心軌跡，推出結果即可．
對于（2），利用余弦定理，求出r，再根據三角形的面積公式計算即可，
對于（3），根據b＜6，a=6，得到以坐標原點為圓心半徑為6的圓與曲線C有兩個公共點，
對于（4），根據斜率公式，代入計算即可．

解答 解：對于（1）圓O₁：x²+y²+6x+5=0，即（x+3）²+y²=4的圓心為（-3，0），半徑為2；
圓O₂：x²+y²-6x-91=0，即（x-3）²+y²=4的圓心為（3，0），半徑為10；
設動圓圓心為M（x，y），半徑為r；
則|M0₁|=2+r，|MO₂|=10-r；
于是|M0₁|+|MO₂|=12＞|O₁O₂|=6
所以，動圓圓心M的軌跡是以O₁（-3，0），O₂（3，0）為焦點，長軸長為12的橢圓．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1．故（1）正確；
對于（2）∵|M0₁|=2+r，|MO₂|=10-r，|O₁O₂|=6，
由余弦定理得，|O₁O₂|²=|M0₁|²+|MO₂|²-2|M0₁|•|MO₂|cos60°，
∴36=（2+r）²+（10-r）²-2（2+r）（10-r）cos60°，
解得r=4，
∴|M0₁|=6，|MO₂|=6，
∴S${\;}_{△{O}_{1}M{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|M0₁|•|MO₂|•sin60=9$\sqrt{3}$，故（2）不正確；
對于（3）∵M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1，b＜6，a=6，
∴以坐標原點為圓心半徑為6的圓與曲線C有兩個公共點，分別為（-6，0），（6，0），故（3）不正確；
對于（4）動點M（x，y），（y≠0）分別與兩定點（-6，0），（6，0）連線的斜率之積，為$\frac{y}{x+6}$•$\frac{y}{x-6}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-36}$=$\frac{27（1-\frac{{x}^{2}}{36}）}{{x}^{2}-36}$=-$\frac{27}{36}$=-$\frac{3}{4}$，故（4）正確．
故答案是：（1）（4）

點評 本題主要圓和圓的位置關系，以及橢圓的定義和性質，余弦定理和正弦定理，屬于中檔題．