Question

已知數(shù)列｛an｝, a1＝cosθ,a2＝cos2θ, an+2＝2an+1cosθ-an, 則

an＝cosnθ

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Answer 1

答案：T
解析：

證明:(1)當n＝1, n＝2時, 命題顯然成立.      (2)假設n＝k-1, k(k≥2)時, 命題成立.      即 ak-1＝cos(k-1)θ, aK＝coskθ      當n＝k+1時,      ∵  ak+1＝2akcosθ-ak-1        ＝2coskθ·cosθ-cos(k-1)θ        ＝coskθ·cosθ-sinkθsinθ＝cos(k+1)θ      ∴  n＝k+1時命題仍然成立.      根據(jù)(1),(2), ∴ 對于一切 n∈N,命題成立.

提示：

用數(shù)學歸納法證明. 因為在證第二步時應用的遞推關系是: ak+1＝2akcosθ-ak-1 所以在證明第一步時, 需驗證n＝1和n＝2時命題成立.