Question

12．已知二次函數f（x）=ax²-4x+c，且 f （0）=-5，f （x）＜0的解集是（-1，5）．
（1）求 f （x）的解析式；
（2）求函數 f （x）在x∈[0，3]上的值域；
（3）設g（x）=f （x）-mx，且g（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據不等式的解集和方程的關系得出方程的跟，利用韋達定理求出函數的表達式；
（2）根據二次函數的圖象和性質求解即可；
（3）根據題意可知對稱軸不在區(qū)間內即可．

解答 解：（1）由f （x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，不等式的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的兩根是x=-1或x=5，
所以a=1，c=
所以f（x）=x²-4x-5，
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5，
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上為減函數，在[2，3]上為增函數．
∴當x=2時，f（x）取得最小值為f（2）=-9．
而當x=0時，f（0）=-5，當x=3時，f（3）=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值為-5
∴函數f（x）在x∈[0，3]上的值域為[-9，-5]．
（3）g（x）=x²-（m+4）x-5，依題意有$\frac{m+4}{2}≤-2或\frac{m+4}{2}≥2$，故m≤-8或m≥0
所以，m的取值范圍是（-∞，-8]∪[0，+∞）．

點評 考出來不等式和方程的關系和二次函數的圖象和性質，屬于基礎題型，應熟練掌握．