Question

10．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當-3＜a＜-2時，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使不等式|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0，寫出f（x）的解析式，求導，令f′（x）=0，求得x的值，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，即可求得函數(shù)的極值；
（2）求導，化簡整理，討論a的取值范圍，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）-3＜a＜-2，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，x=1取最大值，x=3取最小值，|f（λ₁）-f（λ₂）|≤f（1）-f（3），|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3，將兩式化簡整理ma＞$\frac{2}{3}$-4a，根據(jù)a的取值范圍，求得m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R），（x＞0）．
a=0時，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}，f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$，
令f'（x）=0，解得$x=\frac{1}{2}$，
當$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
當$x＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\frac{1}{2}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（{\frac{1}{2}，+∞}）$；
所以f（x）的極小值是$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無極大值；…（3分）
（2）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2ax+（{2-a}）x-1}}{x^2}$=$\frac{{（{ax+1}）（{2x-1}）}}{x^2}$=$\frac{{2a（{x+\frac{1}{a}}）（{x-\frac{1}{2}}）}}{x^2}$，
①當a＜-2時，$-\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$x＜-\frac{1}{a}$，或$x＞\frac{1}{2}$
令f′（x）＞0，解得：$-\frac{1}{a}＜x＜\frac{1}{2}$，
∴當a＜-2時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，-\frac{1}{a}}）$，$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}}）$；
②當a=-2時，$-\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③當a＞-2時，$-\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，解得：$x＜\frac{1}{2}$，或$x＞-\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}＜x＜-\frac{1}{a}$，
∴當-2＜a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\frac{1}{2}}）$，$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}}）$；…（7分）
（3）由（II）知，當-3＜a＜-2時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=2a+1，$f{（x）_{min}}=f（3）=（{2-a}）ln3+\frac{1}{3}+6a$，
$|f（{λ_1}）-f（{λ_2}）{|_{max}}=f（1）-f（3）=\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3$，
∵存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使不等式|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max＞（m+ln3）a-2ln3，即$\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3＞（{m+ln3}）a-2ln3$，
整理得$m＞\frac{2}{3a}-4$，
∵-3＜a＜-2，
∴$-\frac{1}{3}＜\frac{2}{3a}＜-\frac{2}{9}$，
∴$-\frac{13}{3}＜\frac{2}{3a}-4＜-\frac{38}{9}$，
∴$m≥-\frac{38}{9}$，m的取值范圍是$[{-\frac{38}{9}，+∞}）$．…（12分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化與分類討論的數(shù)學思想，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．