Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率e=，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P(2,)滿足：F₂在線段PF₁的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A(2,0)、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范圍.

Answer 1

（1）解：橢圓C的離心率e=，得=，其中c=,

橢圓C的左、右焦點分別為F₁(-c,0)、F₂(c,0),

又點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴F₁F₂=PF₂.∴(2c)²=()²+(2-c)².

解得c=1,a²=2,b²=1，

∴橢圓C的方程為+y²=1.

（2）解:由題意，直線l的方程為y=k(x-2)，且k≠0，

聯(lián)立得(1+2k²)x²-8k²x+8k²-2=0，

由Δ=8(1-2k²)＞0，得＜k＜,且k≠0.

設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，則有x₁+x₂=，x₁x₂=.（*）

∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由題意∠NF₂A≠90°，∴+=0.又F₂(1,0),

∴+=0，即+=0.

∴2-(+)=0，整理得2x₁x₂-3(x₁+x₂)+4=0.

將（*）代入,得+4=0，

知上式恒成立，故直線l的斜率k的取值范圍是(,0)∪(0,).