Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．則f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即x²+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²在（1，+∞）上恒成立，
由y=-x²在（1，+∞）上的最大值為-1得：a≥-1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．