Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）判斷的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)的零點的個數(shù)；

（3）令，若函數(shù)在內(nèi)有極值，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）兩個；（3）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)φ（x）= ，其中（x＞0），

∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）∵φ（1）=-1＜0，φ（2）=3- ＞0，有φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

故φ（x）在（1，2）內(nèi)有唯一零點，顯然x=0為f(x)的一個零點

又 ，顯然x=0為f(x)的一個零點，

因此y=f（x）在（0，+∞）有且僅有兩個零點

（3） ，

則 ，

設(shè) ，則h(x)=0有兩個不同的根 ，且有一根在 內(nèi)，

不妨設(shè)， 由于 ，所以 ，

由于h(0）=1，故只需h（）＜0即可，即 ，

解得 .

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，閉區(qū)間上的最值