Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和S_n滿足，并且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+n-1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n，并證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知a₁+a₂+a₃+…+a_n=，所以，故a_n-a_n-1=3．所以{a_n}為等差數(shù)列，公差d=3．由a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，解得a₁=1．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，知==，故T_n==，由此能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n，并證明．
解答：解：（1）∵，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=，
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=（a_n+1）（a_n+2），
∴6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=-3a_n+2=（a_n-1）（a_n-2），
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=6S_n-1，
又由已知可得6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2），
故（a_n-1+1）（a_n-1+2）=（a_n-1）（a_n-2），
∴，
，
（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=3（a_n+a_n-1）
∴a_n-a_n-1=3．所以{a_n}為等差數(shù)列，公差d=3．
∵a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，
∴3+a₁，9+a₁，24+a₁成等比數(shù)列，
∴，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，
∴==，
∴T_n=
==．
∵T_n==，
∴，
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取最小值．
故．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，并證明．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．