Question

設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=（x＞0），數列{a_n}滿足：a₁=，a_n+1=g（a_n）（n∈N）．
（Ⅰ）當x＞-1時，比較x與f（x）的大��；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求證：a₁+a₂+…+a_n＞ln．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）構造函數F（x）=x-ln（1+x）利用導數求其最小值，從而判斷得到x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）通過關系式a_n+1=g（a_n）變形得是一等比數列，并求其通項，從而計算出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中x≥ln（1+x）知a_n＞ln（a_n+1），而ln（a_n+1）=ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1），然后利用累加法化簡即可證明結論．
解答：解：（Ⅰ）當x＞-1時，設F（x）=x-ln（1+x），∴F'（x）=1-=，，令F'（x）=0 有x=0，
當x∈（-1，0），F'（x）＜0，F（x）單調遞減；當x∈（0，+∞），F'（x）＞0，F（x）單調遞增．
∴F（x）的最小值為F（0）=0∴x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）∵，∴，∴，
∴為首項是1、公比為的等比數列．∴=，∴；
（Ⅲ）∵a_n＞0，由（Ⅰ）知，
∴a₁+a₂+…+a_n＞[ln（2¹+1）-ln（2+1）+…+ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1）]
=，即證．
點評：此題考查函數的導數應用，及數列求和中裂項相消法的運用．