Question

【題目】在如圖所示的幾何體中， ， ， 平面，在平行四邊形中， ， ， ．

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）連接交于，取中點(diǎn)，連接， ，利用中位線證明，四邊形為平行四邊形，從而，由此證得平面.（2）以為原點(diǎn)， ， ， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面和平面的法向量來求二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：連接交于，取中點(diǎn)，連接， ，

因?yàn)?/span>， ，又，

所以， ，從而， 平面， 平面，

所以平面．

（2）在平行四邊形中，由于， ， ，則，又平面，則以為原點(diǎn)， ， ， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ，

則， ， ，

設(shè)平面的一個法向量為，

則由

令，得， ，所以，

，設(shè)平面的一個法向量為，

則由即

令，得， ，所以，

，所以，

所以所求二面角的余弦值為．